Kokį atlygį pasirinksite? Sprendimas.

Nemažai panašių užduočių galima sugalvoti, kur esmė yra nuolat dauginti iš 2. Čia aprašysiu tris:

1. Atlygis.
2. Šachmatų išradimas.
3. Ežeras, kuriame auga lelijos.
4. Praktinis pritaikymas

Atlygis

Prisiminti visą sąlygą galite čia. O trumpai, sąlyga tokia:

Reikia pasirinkti vieną iš dviejų atlyginimo būdų už 30-ies dienų darbą:
a) 1 milijonas litų po 30 dienų;
b) 30 dienų trunkančios kasdienės pajamos. Pirmą dieną 1 centas, antrą - 2 centai, trečią - 4 centai ir taip toliau kiekvieną dieną dvigubėjantis atlyginimas.

Žiūrim. Pirma savaitė:

Pirmoji savaitė

Diena	Atlygis už dieną	Bendras atlygis
1	0.01 Lt	0.01 Lt
2	0.02 Lt	0.03 Lt
3	0.04 Lt	0.07 Lt
4	0.08 Lt	0.15 Lt
5	0.16 Lt	0.31 Lt
6	0.32 Lt	0.63 Lt
7	0.64 Lt	1.27 Lt

Ką gi, dirbom visą savaitę, o uždirbom tik 1.27 Lt. Nebaisiai daug. Bandom antrą savaitę, gal bus sėkmingesnė:

Antroji savaitė

Diena	Atlygis už dieną	Bendras atlygis
8	1.28 Lt	2.55 Lt
9	2.56 Lt	5.11 Lt
10	5.12 Lt	10.23 Lt
11	10.24 Lt	20.47 Lt
12	20.48 Lt	40.95 Lt
13	40.96 Lt	81.91 Lt
14	81.92 Lt	163.83 Lt

Hm, vis dar liūdna ir po dviejų savaičių, nors jau perkopėm šimtą litų! Žiūrim toliau!

Trečioji savaitė

Diena	Atlygis už dieną	Bendras atlygis
15	163.84 Lt	327.67 Lt
16	327.68 Lt	655.35 Lt
17	655.36 Lt	1,310.71 Lt
18	1,310.72 Lt	2,621.43 Lt
19	2,621.44 Lt	5,242.87 Lt
20	5,242.88 Lt	10,485.75 Lt
21	10,485.76 Lt	20,971.51 Lt

Na va, už tokias sumas jau turbūt ir su šypsena galėtume dirbti. Bet ~20,000 Lt, kuriuos turėtume po trijų savaičių vis dar labai skiriasi nuo 1,000,000 Lt. Tačiau reikalai jau krypsta į gerą pusę. Žiūrim toliau!

Ketvirtoji savaitė

Diena	Atlygis už dieną	Bendras atlygis
22	20,971.52 Lt	41,943.03 Lt
23	41,943.04 Lt	83,886.07 Lt
24	83,886.08 Lt	167,772.15 Lt
25	167,772.16 Lt	335,544.31 Lt
26	335,544.32 Lt	671,088.63 Lt
27	671,088.64 Lt	1,342,177.27 Lt

Valio!!! Perkopėm milijoną litų! Per septynias darbo dienas uždarbį padidinom nuo ~20,000 Lt iki ~1,300,000 Lt! Rimta! Liko dar trys dienos!

Trys paskutinės dienos

Diena	Atlygis už dieną	Bendras atlygis
28	1,342,177.28 Lt	2,684,354.55 Lt
29	2,684,354.56 Lt	5,368,709.11 Lt
30	5,368,709.12 Lt	10,737,418.23 Lt

Mhm... Čia jau būtų baisu, kad už tokias sumas ir į darbą nebesinorėtų eiti. Bet na, nuo 1 cento iki 10 milijonų litų per 30 dienų. Taip galėtų vadintis naujas realybės šou.
Taigi renkamės variantą b), kad ir kokios sunkios būtų pirmos savaitės.
Parengta pagal šitą šaltinį.


Turbūt atkreipėte dėmesį, kad stulpelyje „Atlygis už dieną“, turėdavom 2 pakelta stulpelio „Diena“ laipsniu. Na, tiksliau Diena - 1, kadangi pirmą dieną gavome 2^0 = 1 centą. Taigi visi panašūs uždaviniai tiesiog pademostruoja kėlimo laipsniu galią.


Šachmatų išradimas


Šachmatų žaidimo užuominos siekia VI amžiaus Indiją. Apie šachmatų pirmtaką yra įdomi legenda (nors VI a. žaidimas vadinosi Chaturanga, šiame įraše paprastumui naudosiu žodį šachmatai). Legendą taip pat truputį laužiau iš piršto, bet esmės tikrai nekeičiau.

Tuometinis Indijos karalius labai pamėgo šachmatus ir nusprendė apdovanoti jų išradėją. Jį pasikvietęs jis tarė: „Šachmatai - nuostabus išradimas, kuris suteikė man daug džiaugsmo. Kaip galėčiau tau atsidėkoti?“ Išradėjas ilgai nedvejojęs tarė: „Aš norėčiau, kad Jūs paėmęs šachmatų lentą ant jos išdėliotumėte ryžius. Išdėliotumėte taip, kad ant pirmo laukelio būtų 1 kruopa, ant antro 2 kruopos, ant trečio 4 ir t.t.“ Karalius nustebintas išradėjo kuklumo jam tarė: „Ar tikrai tik tiek tenori? Juk šachmatų lentoje tėra 64 langeliai - sudėjus visus ryžius gausis tik koks pusmaišis. Aš juk karalius - esu turtingas, galėčiau pasiūlyti tau aukso ar pinigų.“ „Ne, dėkui, ryžių man pakaks“ - atsakė išradėjas. „Na, kaip sau nori. Įsakysiu savo pavaldiniams rytoj iš pat ryto duoti tau tą pusmaišį ryžių.“

Karalius žodį tesėjo ir įsakė pavaldiniams surinkti tiksliai tiek ryžių, kiek išradėjas paprašė. Iš ryto atėjęs į ryžių saugyklą įteikti šachmatų išradėjui atlyginimo, karalius nustebo ten radęs garsiausius šalies matematikus plušančius prie kažkokių skaičiavimų. Per naktį jie tespėjo apskaičiuoti, kad visos karalystės grūdų sąnaudas jie išnaudos ties 40-uoju langeliu.



Kas įvyko?

Čia panašiai kaip ir su centais. Pradžioj jie auga lėtai, o paskui gan greitai.

Šachmatų lenta yra 8x8 dydžio. Iš viso 64 langeliai. Žvilgt į lentelę, kur skaičiavom centus ir matom, kad ant pirmos eilutės (8i langeliai) sudėję ryžius iš viso turėsim 255 ryžius. Maždaug tiek telpa į valgomąjį šaukštą.

Sudėję pirmus 30 langelių turėsim (žvilgt į lentelę) apie 1 milijardą ryžių.

....

Sudėję paskutinę eilutę turėsim 2^64 - 1 ryžių. Va tiek: 18,446,744,073,709,551,615. Lietuviškai tai skambėtų taip: 18 kvintilijonų 446 kvadrilijonai 744 trilijonai 73 milijardai 709 milijonai 551 tūkstantis 615.

Nors tokį skaičių ir super turbo sunku įsivaizduoti, pamėginti galima.

Tarkime, kad ryžių būta nokių, jie gan dideli ir kruopos išmatavimai milimetrais tokie: 3x3x10 = 90 (mm^3) = 0.09 (cm^3) = 0.00000009 (m^3)

Iš viso ryžiai sudarys tokį tūrį: [ryžių skaičius] * [vieno ryžio tūris] = 1,660,206,966,633 (m^3) ~= 1660 (km^3).

Jeigu visą Lietuvą, kurios plotas ~65,200 km^2, padengtume tokiu kiekiu ryžių, tai gautume 1,660 / 65,200 ~= 0.025 km = 25 m ~= devynaukščio namo aukštis.

Taigi, jei karalius būtų sumokėjęs šachmatų išradėjui tiek, kiek gudruolis paprašė, ir tuomet gudruolis lobį būtų atnešęs iki Lietuvos ir viską ten tvarkingai išpylęs, visa šalis būtų nuklota ryžiais maždaug devynaukščio storiu. Tai būtumėm sotūs. Ir kaip gražiai per google maps atrodytumėm!

Kiek laiko reiktų tokį kiekį ryžių auginti? Gal kas bent per Farmville pamėgintų?


[Atnaujinimas] Ką tik su Povilu dar paskaičiavom, kad pagal 2003-2004 metų duomenis, tokį kiekį ryžių visas pasaulis suvalgytų per 1256 metus. Matyt, tai bent šiek tiek atsako į klausimą, kiek laiko užtruktų tokiam kiekiui ryžių užauginti.



Ežeras, kuriame auga lelijos


5-os klasės matematikos olimpiadoje buvo toks uždavinys:

Pirmą dieną ežere išdygo lelija, antrą dieną padvigubėjo - buvo dvi lelijos, trečią dieną - keturios ir t.t. Šimtąją dieną ežeras užsipildė. Kelintą dieną buvo užpildytas ketvirtis ežero?

Geras klausimas. O kitas geras klausimas: kokio dydžio ežeras? Bandžiau ir tą apskaičiuoti. Didelis. Už Drūkšius didesnis. Ir už Kaspijos jūrą didesnis. Ir už Baltijos, ir už Viduržemio. Ir už Atlanto vandenyną ir už Ramųjį, ir už abu kartu sudėjus. Ir už visą Žemę didesnis. Ir už Saulę didesnis. Ir už didžiausią iki šiol atrastą žvaigždę VY Canis Majoris didesnis. 4is kartus tas ežeras už VY Canis Majoris turėtų būti didesnis. O tai tikrai didesnis ežeras negu Drūkšiai.

Vėlgi - įsivaizduokime. Žemės dydį juk įsivaizduojame ane? Tuomet įsivaizduosime ir Saulės. Jei Žemės skersmenį prilygintume žmogaus akies vyzdžio dydžiui, tai Saulės skersmuo būtų Žmogaus aukščio dydžio (žinios paimtos iš kažkokios enciklopedijos, kurią turėjau būdamas 8ių metų). Saulės dydį jau įsivaizduojame, paprasta. VY Canis Majoris dydį tuomet galime įsivaizduoti taip: jei Saulės skersmuo būtų mano ūgis ir aš atsigulčiau prie Vilniaus Katedros iėjimo galvą atsukęs link Seimo, tai VY Canis Majoris skersmuo būtų nuo Katedros iki Seimo ir atgal. Arba dar viską galima ne įsivaizduoti, o pažiūrėti. Tai va. Keturiskart tiek lelijų.




Kaip šitai pritaikyti praktikoje? Niekas juk nebus toks durnas ir nesiūlys tokio faino atlyginimo, kaip kad pirmame uždaviny.
Truputį paspekuliuosiu, bet manau, kad Bernardas Madoffas panašų atlygį sau ir susikrovė naudodamas finansines piramides. Aukščiausiam (1-ame) lygyje esi tu vienas, praneši apie tai keliems draugams (2as lygis), jie dar keliems (3ias lygis) ir dar keliolika lygių, kiekvienas dalyvis į tą visą piramidę įneša bent po 1,000 dolerių, na taip panašiai ir gauname 65 milijardų dolerių skylę Madoffo investuotojų sąskaitose.
Šis principas ir prie finansinės krizės tikrai nagus prikišo ir mes ją juk labai jaučiame :) Taip kad skaičiai gyvi.